Halaman
Matematika993.5 Fungsi InversMasalah 3.4Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1.000, dimana x banyak potong kain yang terjual. a) Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong kain, berapa keuntungan yang diperoleh?b) Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00 berapa potong kain yang harus terjual?c) Jika A merupakan daerah asal (domain) fungsi f dan B merupakan daerah hasil (range) fungsi f, gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas. Alternatif PenyelesaianKeuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1.000, untuk setiap x potong kain yang terjual.a) Penjualan 50 potong kain, maka x = 50 dan nilai keuntungan yang diperoleh adalahf(x) = 500x + 1000untuk x = 50 berarti f(50) = (500 × 50) + 1.000= 25.000 + 1.000 = 26.000Jadi, keuntungan yang diperoleh dalam penjualan 50 potong kain sebesar Rp26.000,00.b) Agar keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 100.000,00, maka banyaknya kain yang harus terjual adalah f(x) = 500x + 1000 100.000 = 500x + 1000 500x= 100.000 – 1.000
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK100 500x= 99.000x = 99.000500= 198Jadi, banyaknya kain yang harus terjual adalah 198 potong. c) Jika A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f, maka permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas digambarkan seperti berikut.xxAA(i)(ii)BBff -1f(x)f(x)50....?AA(iii)(iv)BBff -1....?100.000Gambar 3.5 Fungsi inversBerdasarkan Gambar 3.5 di atas, maka dapat dikemukakan beberapa hal sebagai berikut.(a) Gambar 3.5 (i) menunjukkan bahwa fungsi f memetakan A ke B, dapat ditulis f: A → B.(b) Gambar 3.5 (ii) menunjukkan bahwa f-1 memetakan B ke A, dapat ditulis f-1: B → A, dimana f-1 merupakan fungsi invers f.
Matematika101(c) Gambar 3.5 (iii) menunjukkan bahwa untuk nilai x = 50, maka akan dicari nilai f(x).(d) Gambar 3.5 (iv) menunjukkan kebalikan dari Gambar 3.5 (iii), yaitu mencari nilai x jika diketahui nilai f(x) = 100.000.Perhatikan Gambar 3.6 berikut, agar lebih memahami konsep invers suatu fungsi.Gambar 3.6 Fungsi inversxff -1yABBerdasarkan Gambar 3.6 di samping, diketahui ada beberapa hal sebagai berikut. Pertama, fungsi f memetakan x∈A ke y∈B. Ingat kembali pelajaran tentang menyatakan fungsi ke dalam bentuk pasangan terurut. Jika fungsi f dinyatakan ke dalam bentuk pasangan terurut, maka dapat ditulis sebagai berikut.f = {(x, y) | x∈A dan y∈B}. Pasangan terurut (x, y) merupakan unsur dari fungsi f. Kedua, fungsi invers f atau f-1 memetakan y∈B ke x∈A. Jika fungsi invers f dinyatakan ke dalam pasangan terurut, maka dapat ditulis f-1 = {(y, x) | y∈B dan x∈A}. Pasangan terurut (y, x) merupakan unsur dari fungsi invers f.Berdasarkan uraian di atas, maka dapat didefinisikan invers suatu fungsi, yaitu sebagai berikut. Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(x, y) | x∈A dan y∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f -1) adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan f -1 = {(y, x) | y∈B dan x∈A}.Definisi 3.3Untuk lebih memahami konsep invers suatu fungsi, selesaikanlah Masalah 3.5 berikut.
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK102Masalah 3.5Diketahui fungsi f: A → B merupakan fungsi bijektif, fungsi g: C → D merupakan fungsi injektif, dan fungsi h: E → F merupakan fungsi surjektif yang digambarkan seperti Gambar 3.7 di bawah ini. Afgh(i)(ii)(iii)BCDEFGambar 3.7 Fungsi invers f, g, dan ha) Jika fungsi invers f memetakan B ke A, fungsi invers g memetakan D ke C, dan fungsi invers h memetakan F ke E, maka gambarlah ketiga invers fungsi tersebut.b) Dari ketiga invers fungsi tersebut, tentukanlah mana yang merupakan fungsi.Alternatif Penyelesaiana) Gambar ketiga fungsi invers tersebut ditunjukkan sebagai berikut.Bf -1g-1h-1(i)(ii)(iii)ADCFEGambar 3.8 Invers fungsi f, g, dan h
Matematika103b) Berdasarkan Gambar 3.8, dapat disimpulkan sebagai berikut.- Gambar 3.8 (i) merupakan fungsi. Mengapa? Jelaskan.- Gambar 3.8 (ii) bukan fungsi. Mengapa? Jelaskan.- Gambar 3.8 (iii) bukan fungsi. Mengapa? Jelaskan.Berdasarkan alternatif penyelesaian pada Masalah 3.5 di atas, dapat disimpulkan bahwa invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi, tetapi dapat hanya berupa relasi biasa. Fungsi invers g dan hbukan suatu fungsi melainkan hanya relasi biasa. Invers suatu fungsi yang merupakan fungsi disebut fungsi invers. Fungsi invers f merupakan suatu fungsi invers. Berdasarkan uraian di atas, maka ditemukan sifat berikut. Sifat 3.3Suatu fungsi f : A → B dikatakan memiliki fungsi invers f-1: B → A jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif. Perhatikan kembali Sifat 3.3 di atas, pada fungsi bijektif f: A → B, A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f. Secara umum, definisi fungsi invers diberikan sebagai berikut. Jika fungsi f: Df→Rf adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f -1: Rf→Df dengan kata lain f -1 adalah fungsi dari Rf ke Df. Df adalah daerah asal fungsi f dan Rf adalah daerah hasil fungsi f. Definisi 3.4Perhatikan kembali Definisi 3.4 di atas. Fungsi f: Df→Rf adalah fungsi bijektif, jika y∈Rf merupakan peta dari x∈Df, maka hubungan antara y dengan f(x) didefinisikan dengan y = f(x). Jika f -1 adalah fungsi invers dari fungsi f, maka untuk setiap x∈Rf-1 adalah peta dari y∈Df-1. Hubungan antara x dengan f -1(y) didefinisikan dengan rumus x = f -1(y).